El salto al continuo
Una reflexión sobre cardinalidades, axiomas y la evolución de Internet
Del infinito a la Web²: una reflexión sobre cardinalidades, axiomas y la evolución de Internet
La teoría de conjuntos nos enseña que incluso el concepto aparentemente simple de “cantidad” puede desbordar nuestra intuición. Al comenzar a contar pasamos del 1 al 2, del 2 al 3 y así sucesivamente. El truco de Cantor consistió en darse cuenta de que no todos los infinitos son iguales. La cardinalidad de un conjunto —la noción matemática que mide cuántos elementos contiene— es mucho más sutil en los casos infinitos.
Aleph-0, el primer infinito y más allá
Al igual que los números naturales, muchos conjuntos contienen infinitos elementos pero son numerables, es decir, pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales. Cantor denominó a esta cantidad aleph-cero (), el menor infinito cardinal. Más sorprendente aún es descubrir que los números racionales —que a primera vista parecen “más” que los enteros porque “rellenan” los huecos entre ellos— también son numerables; existe una forma de asignarles un número entero único en una lista sin que ninguno quede fuera.
Pero no todo infinito cabe en una lista. Cantor demostró que los números reales son incontables: son “más numerosos” que los naturales porque no existe manera de enumerarlos todos. De hecho, Cantor probó que la cardinalidad de los reales es la misma que la del conjunto potencia de los naturales; en símbolos, la cardinalidad del continuo es igual a . Así nace un segundo nivel de infinito. Entre el infinito numerable y el continuo hay un salto cualitativo: no se puede llegar al continuo simplemente sumando uno más al infinito numerable.
Desde el punto de vista de las cardinalidades, la sucesión de tamaños infinitos se designa con los números aleph: Cada es el menor cardinal estrictamente mayor que el anterior. La hipótesis del continuo propone que no hay un tamaño intermedio entre y el continuo; en términos de aleph, afirmaría que . Gödel y Cohen demostraron que esta hipótesis ni se puede probar ni refutar a partir de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos (ZFC). Así, nuestra concepción del continuo queda a la deriva: podemos aceptarla o no como un nuevo axioma, y cualquiera de las dos opciones genera teorías consistentes siempre que ZFC lo sea.
A medida que subimos en la jerarquía —— la mente humana se enfrenta a cardinalidades cada vez más abstractas. Algunos matemáticos introducen números beth () para relacionar estos tamaños con potencias sucesivas: , , etc. Las equivalencias entre alephs y beths dependen de aceptar hipótesis como la del continuo o su versión generalizada.
Y por encima de todo esto planea el axioma de elección, que enuncia que dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, existe una función que elige exactamente un elemento de cada uno. El axioma de elección es necesario para algunas construcciones (como afirmar que todo conjunto puede ordenarse) pero lleva a paradojas extrañas. Su aceptación o rechazo cambia la geografía de los infinitos.
La moraleja matemática es que ir “más allá” del infinito no significa simplemente sumar uno más al infinito que conocemos; exige asumir o negar axiomas, enfrentar hipótesis indecidibles y aceptar que hay distintos niveles de infinito.
De la Web 1.0 a la Web 2.0 y la búsqueda de un nombre para la siguiente fase
En los años noventa, la web era básicamente un repositorio de documentos estáticos. La gente visitaba páginas que apenas se actualizaban y consumía contenidos creados por unos pocos editores. Esta etapa, a veces llamada Web 1.0, se apoyaba en las tecnologías básicas que Tim Berners-Lee desarrolló en 1990 —HTML, URI y HTTP— y en navegadores como Netscape Navigator, que permitían recuperar páginas estáticas.
A principios de los 2000 se produjo un cambio profundo. La caída de las punto-com no significó el fin de la web; al contrario, marcó el surgimiento de un nuevo paradigma. Tim O’Reilly y Dale Dougherty acuñaron la etiqueta Web 2.0 para describir aplicaciones que sobrevivieron al estallido de la burbuja porque compartían ciertos patrones. Algunos ejemplos en los que el modelo tradicional era sustituido por uno participativo: Wikipedia en lugar de la Enciclopedia Britannica, blogs en lugar de páginas personales, YouTube en lugar de sitios estáticos.
La Web 2.0 se caracteriza por la participación de los usuarios, el contenido generado colectivamente y el uso del navegador como plataforma. Sitios como Wikipedia, blogs, redes sociales y servicios de vídeo se sustentan en la arquitectura de participación: los usuarios ya no son solo consumidores de información, sino co-creadores. Este modelo hizo posible que millones de personas produjeran y compartieran información al instante, y llevó al protagonismo de gigantes como Facebook, YouTube y Amazon.
Web 2.0 al cuadrado: del “internet de las personas” al “internet de las cosas”
Cuando todos hablaban de la Web 3.0 como un futuro ideal de semántica y realidad virtual, O’Reilly y John Battelle propusieron en 2009 un salto distinto: Web Squared (“Web al cuadrado”). En esta visión, el factor multiplicador no consiste en un número de versión sino en la interacción entre la Web 2.0 y el mundo físico. El colaborador Chris Woollard lo resume así: Web Squared une la inteligencia colectiva de las redes sociales con el internet de las cosas.
La idea es que la actividad web crezca exponencialmente porque millones de sensores —cámaras, micrófonos, GPS, etiquetas RFID— alimentan aplicaciones con datos del mundo real. Este flujo crea “sombras de datos” que, al compartirse de forma colaborativa, abren nuevas oportunidades: un navegador de realidad aumentada puede superponer información sobre lo que la cámara del móvil está observando.
De Web Squared a Web²: ¿un salto al continuo con modelos generativos?
Hoy, el término Web 3.0 se ha cargado de connotaciones de descentralización, blockchain y confianza sin intermediarios. Sin embargo, también hay quien enfatiza la web semántica y la inteligencia artificial como motores de esta nueva fase. Para mí, la aparición de los modelos de lenguaje a gran escala (LLM) ha cambiado el juego de forma más radical y merece un nombre distinto: Web².
Antes de Internet, la humanidad había generado un número inmenso pero finito de textos; su conjunto era grande pero contable. Con la Web 1.0 la cantidad de información disponible creció de manera explosiva pero seguía siendo, conceptualmente, un conjunto numerable: cada página tenía una dirección (URL) y cada documento podía, en teoría, enumerarse. La Web 2.0 añadió multiplicidad de combinaciones entre contenidos, pero seguía basándose en textos escritos por humanos; el número de combinaciones era enorme pero todavía numerable.
Los LLM han abierto una dimensión nueva. Estos modelos no se limitan a indexar textos existentes; generan nuevas combinaciones lingüísticas con fluidez, apoyándose en grandes corpus pero produciendo respuestas no predefinidas. Cada interacción con un modelo crea un texto diferente; las variaciones potenciales no están acotadas por un catálogo finito de documentos. La estructura subyacente se parece más a un espacio continuo que a una lista.
Esta situación recuerda el salto de al continuo . Igual que los números reales son incontables y no se pueden enumerar, la cantidad de secuencias de palabras que puede producir un LLM (combinando token por token) es astronómica y no se puede capturar en una enumeración práctica. Los LLM son, en cierto sentido, una función generadora sobre el conjunto de textos que, de forma análoga a tomar el conjunto potencia , crea un espacio de posibilidades mucho más grande.
De ahí el símbolo Web²: tomar la web y elevarla, no al siguiente entero, sino a una potencia. Lo que obtenemos es un continuo de contenidos emergentes, generados bajo demanda, que conectan textos existentes en combinaciones nuevas y contextuales. Estas nuevas “palabras reales” que surgen entre cada par de publicaciones podrían considerarse los “números irracionales” del ciberespacio: infinitos en número y densos en cada segmento del discurso.
Así como el axioma de elección nos permite seleccionar un elemento de cada conjunto en una colección, los usuarios tendrán que asumir (o rechazar) la idea de que un modelo de lenguaje puede generar cualquier texto plausible y que debemos elegir cuál considerar válido.
En mi opinión, la irrupción de los modelos generativos exige hablar de Web²: un salto cualitativo en el espacio de información disponible que se asemeja al paso del infinito numerable al continuo. Esta nueva web exige revisar nuestros axiomas (sobre propiedad intelectual, veracidad, autoría) y afrontar cuestiones indecidibles.
La única certeza es que los niveles del infinito —ya sean matemáticos o digitales— siempre desafían nuestra imaginación y nos obligan a explorar nuevas maneras de entender la realidad.